非线性电路

非线性元器件在电工中得到广泛应用。例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这性质被用来保护雷电下的电工设备；铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这性质被用来制造直流电流互感器。非线性电路的研究和其他学科的非线性问题的研究相互促进。20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。非线性元件电路是指由非线性元件构成的电路,如线圈,电容等够成的LR,CR,LC,LCR电路等,这些可构成微分电路或积分电路,这就是非线性电路。

非线性电路是产生复杂动力学行为的基本电路,混沌运动是其中一种非常复杂的非线性运动形式,它是一种介于有序与无序之间、确定性与随机性共存的特殊形式的运动。^[1]

电路中的元器件在本质上是非线性的，由非线性的电路构成或者实现的系统也是非线性的，所以非线性已成为电路与系统中重要的研究课题。电子电路中的非线性问题，可以借助物理学来解决；物理学中的非线性主要表现为相干性和祸合作用，也可利用电子电路来仿真。^[2] 非线性电路理论是非线性科学研究的重要分支之一。随着科学技术的进步，电子技术得到迅猛发展，新的电子器件不断出现。高度非线性电子器件的广泛应用，使得电子电路中出现了大量的非线性现象，如次谐波振荡、周期跳跃、概周期运动、分岔以及混沌等。^[3]

用刀开关断开直流电路时，由于电弧的非线性使这时的电路出现由不同起始条件决定的两个稳态——一个有电弧，因而电路中有电流；另一个电弧熄灭，因而电路中无电流。

线性电路通常只有一个稳态。但有些非线性电路的稳态可以不止一个。例如，用刀开关断开某个直流电路，当开关的刀和固定触头之间的距离不够大（例如距离为d）时,刀与触头之间可以出现稳定的电弧，电路中有电流，这是电路的一个稳态；增加上述距离使电弧熄灭后,再使此距离减少到d,却见不到电弧,电路中没有电流，这是另一个稳态。电弧的非线性特性使这个电路有两个稳态。电路处于何种稳态由起始条件决定。

在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压（或电流）却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件，可产生其波形接近正弦的周期振荡。

在含有直流独立电源的线性电路中，稳态下的电压、电流是不随时间变化的直流电压、直流电流。但在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压(或电流)却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。例如，音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路。这个电路可以产生其波形接近正弦的周期振荡。自激振荡可以分为两种。软激励：电路接通后就能激起振荡。硬激励：电路接通后，一般不能激起振荡，电路处于直流稳态。必须另外加一个幅度较大、作用时间很短的激励，电路里才会激起振荡。在这样的电路中便有两个稳态：一个是直流稳态，一个是含周期振荡的稳态。

正弦激励作用于非线性电路且电路有周期响应时，响应的波形一般为非正弦的，含有高次谐波分量或次谐波分量。例如，整流电路中的电流常会有高次谐波分量。也可以有频率低于激励频率的次谐波分量。整流电路中的电流常会有高次谐波分量。将铁心线圈和合适的电容器串联接到正弦电压源上，构成铁磁谐振电路，其中的电流可含有频率是电源频率1/3的次谐波分量，称1/3次谐波。

非线性电路中，参数（电阻、电感、振幅、频率等）改变到分岔值时响应会突变，出现跳跃现象。铁磁谐振电路中就会发生电流跳跃现象。电路的响应与电路的各种参数有关。电阻、电感、正弦电源的振幅和频率都是参数。当某个参数有微小变化时，响应一般也有微小变化。但在非线性电路里，当参数改变到分岔值时，响应会突变，出现跳跃现象。考虑一个有合适电容值的铁磁谐振电路，以正弦电压源的有效值U 作为控制参数。平滑地、缓慢地改变U 时,电流有效值I一般随之平滑地变化，图1中两条实线表示这种变化，箭头代表变化方向。当电压U由0增加时，电流按曲线①变化。当U 达到分岔值U2时,电流会突然增加,以后电流沿曲线②变化。当U由大于U2的值减少到分岔值U1时,电流会突然减少。电流跳跃性变化用图1中虚线表示。平滑地改变电源的频率，也可以看到类似的现象。

正弦激励作用于自激振荡电路时，若激励频率与自激振荡频率二者相差很小，响应会与激励同步。正弦激励作用于自激振荡电路时，看来有两种频率的振荡在电路里起作用，一个是激励的频率，一个是自激振荡频率。但当二者相差很小时，电路里只存在频率为激励频率的振荡：响应与激励同步。这种现象称为频率捕捉。

20世纪20年代 ，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程，成为研究混沌现象的先声。

非线性电路可以出现的一种稳态响应波形，看似无规律可循，类似随机输出。它的频谱中有连续频谱成分。响应对起始条件极为敏感。在两组相差极微小的起始条件下，经过较长的时间以后两个响应的波形差别很大。这种稳态响应是一种混沌现象。在三阶（或三阶以上）自治电路和二阶（或二阶以上）非自治电路里可以出现混沌。低阶电路的混沌常作为理论研究对象。